1998年，甲购买高压汽枪一支，改制成能发射小口径子弹的枪支后，与50发子弹一起藏匿家中。2002年5月，甲怀疑其妻与单位负责人乙有不正当两性关系，打电话将乙叫到家中质问。因乙否认有此事，甲取出私藏的改制枪支和子弹，返回客厅向乙的头部开枪射击，致乙开放性颅脑损伤而死亡。甲见乙死在自己家中，心中害怕。甲妻回家后，甲打电话给自己的朋友和乙妻打电话，谎称来家中借枪，自己摆弄枪支时走火受伤。甲的朋友和乙妻来到甲家后，甲与他们一起将乙送往医院抢救。之后，甲与其他人一起来到公安机关报称，乙在自己家中摆弄枪支走火致死。在公安机关做了枪痕、枪支鉴定，证明乙的枪弹伤不能自己形成后，甲才供述了自己的犯罪事实。请根据案情回答：下列关于甲的行为是否构成自首的表述中，正确的有(    )。